2017年北京交通大学交通运输学院871运筹学理论与方法考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:矩阵对策
的鞍点不存在的充要条件是有一条对角线的每一个元素均大于另一对角线上的每一个元素。 【答案】（l ）先证充分性，要使鞍点存在，就必存在有
①
可假设主对角线的每一个元素均大于次对角的每一个元素，即
使对一切
，
则充分性得证。
（2）证必要性。假设“有一条对角线的每一个元素均大于另一条对角线上的每一个元素”这种情形不存在，则可设
又可假设
其他情形同理可类推得出存在鞍点，由命题与逆否命题等价可知必要性成立.
2． 假设线性规划问题为:
其中
，秩
运用单纯形算法求得的最优基可行解时，所有的非基变量检验数全都<0，试证明这时所得到的最优解必定 是线性规划问题（l ）的准最优解。
【答案】一般情况下，经过迭代后解变为
再将上式代入目标函数式，整理后得到
令于是
再令则
时，此时的解就为最优解。
这样当所有非基变量的检验数即
3． 现有一个线性规划问题（P 1）:
, 其对偶问题的最优解为Y*=（y1, y2, y3, …ym ）
另有一线性规划（P 2）:
【答案】问题（P 2）的对偶问题为:
问题（P 2）的对偶问题为:
T
其中，d=（d 1, d 2, ...d 3） 。 求证:
易见，问题（P 1）的对偶问题与问题（P 2）的对偶问题具有相同的约束条件，从而，问题（P 1）的对偶问 题的最优解
一定是问题（P 2）的对偶问题的可行解。
令问题（P 2）的对偶问题的最优解为
4． 证明下列定理:
（1）设有两个矩阵对策，
，则:
。
因为原问题与对偶问题的最优值相等，所以
，其中
，L 为任一常数，则有
，
。（定理7）
，其中a>0
为任一常数。则
了为斜对称矩阵（亦称这种对策为对称对策）。分别为局中人I 和，
则
的最优策略集。（定理9）
，A 2
的赢得函数是
（2）设有两个矩阵对策，
，
（3）设则
，
（定理8） 为矩阵对策，且 ，其中
）和
【答案】（1）设A l
的赢得函数是
，则
则所以，同理，有
，
和瓦
，则
①
。
。
故
（2）设A l 和A 2对应的赢得函数分别为
（3）
故即
。