2017年北京交通大学交通运输学院871运筹学理论与方法考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:
顾客排队等待时间分布的概率密度是
，并根据该式求等待时间的期望值
为在统计平衡 下顾客的等待时间，则
由a n 的定义，得
，于是有
。
，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）
由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，
恒有
，所以，
到达者遇到系统中顾客数不少于1个顾客，是需要等待的充要条件，因此
①
因为当系统中有n （n ≥l ）个顾客时，其中只有一个顾客正在接受服务，而其余n-1个顾客在排队等待，所以，新到顾客必须在服务台轮空n 次后，才能接受服务。于是，服务台轮空次数m （t ）
②
其次，因为服务时间服从负指数分布，故其输出流，即服务台轮空次数m （t ）是一最简单流，其参数为
因此
③
将③式代入②式，然后再将②式代入①式，得
，其中，
，有
。
所以，顾客在系统中的等待时间分布为
因为，
以正概率
取0值，而当t>0时，它又具有连续型随机变量的性质，其分布函
既不是连续型随机变量，又不是离散型随机变量。然而类似的密度函数为
2． 设G 为2*2对策，且不存在鞍点。证明若
。
【答案】可利用反证法求证。 假设条件不成立，可设
。
又
。
当时，
时，对
，存在鞍点，最优纯策略为
; 当a 12=a11=a21，所以
和
是G 的解，
则
数必在（0，+∞） 上连续。所以于连续型随机变量，可以定义
， 存在鞍点，最优纯策略为 ，这与G 不存在鞍点矛盾，故结论成立。
3． 己知九个人v 1，v 2，…，v 9中v 1和两个人握过手，v 2和v 3各和四个人握过手，v 4，v 5，v 6，v 7各和五个人握过手，v 8，v 9各和六个人握过手，证明这九个人一定可以找出三人互相握过手。
【答案】该问题可表述为一个包含9个点（每个人代表一个点）的图的问题。依题意知 d （v l ）=2，d （v 2）=d（v 3）=4，d （v 4）=d（v 5）=d（v 6）=d（v 7）=5，d （v 8）=d（v 9）=6 其中，边v i ，v j 代表v i 和v j 握过手。对于v 9，因为d （v 9）=6，所以v 4，v 5，v 6，v 7中至少有两个点与v 9之间 存在连线，设该两点为v 4和v 5。假设与v 4和与v 9相连的其他五点之间无边，
则
，与已知的 d （v 4）=5相矛盾，故假设不成立。即v 4与上述五点间必存在至少
两条边，设其中一点为v k ，则v k ，v 4，v 9两两相连，即存在三人之间互相握过手。
4． 证明:（1）若
（2）若
和
和是对策G 的两个解，则是对策G 的两个解，则是G 的解，所以
和
。
也是对策G 的解。
【答案】（1）因为
①
同理，因为
是G 的解，所以
②
由不等式①可知
③
由不等式②可知
由不等式③与不等式④可知
（2）由（1）证明过程中不等式③和不等式④可知即也是解。
5． 在M/M/1/N/∞模型中，如
，试证
，
故
④
，即可知
。
应为，于是。
【答案】系统在t 时刻的顾客数N （t ）仍是一生灭过程，且有
当t=+∞时，由系统的稳定状态概率可得
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