2017年南京信息工程大学数学与统计学院802高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
3．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
所以f 为正定的. 4． 设
又
则（ ）•
为空间的两组基，且
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
由②有
即 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶方阵. 证明：
【答案】证法I 齐次线性方程组任一解，
即
则必
因若
的解显然是
设
再用
乘上式，又得
如此下去，即得
线性无关，矛盾. 因此必
同解. 于是由上题知（3）成立.
的解反之，设的
这说明n+1个n 元（列）向量与
同解.
同理可证
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