2017年南京信息工程大学海洋科学学院802高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设n （n ≥3）阶矩阵 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D. 故 则3条直线 【答案】B 【解析】但当a=l时， 4． 设 （其中 ）交于一点的充要条件是（ ） . 【答案】D 【解析】令其中 则方程组①可改写为 则3条直线交于一点 线性无关，由秩 线性表出. 方程组①有惟一解 由秩A=2, 可知可由 可知线性相关，即可由线性表出， 从而 线性相关，故选D. 则线性方程组（ ）• 5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩 【答案】D 【解析】 二、分析计算题 6． 设 其牛 为两个非零多项式且或 次，但 证明：存在多项式 . 而且这种表示法唯一. ，设 【答案】先用g （x ）去除f （x ） 使 若 次，则结论已对；若 再用 设 ，得 将（3）代入（2） 若 ，次，可再用g 去除q （ ）. 如此下去，由于f （:真：） 其中 或 次， 由于 且 由（5）又得 同理可得 . 如此下去，必m=n 且 7． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明： 存在正交方阵U 使 其中D 为主对角线上元素为阵； 【答案】由于A 为实反对称矩阵，故可知A , 为实对称矩阵. 设A 的特征根为 从而的特征根为其平方，即 于是存在正交矩阵 使 其中D 为主对角线上元素为（3）的对角矩阵 . 由于故 而 （ 为实数）的对角矩 或为零，或次数 次数，故上式左端括号内的多项式必等于零， 从而必 ，并移项，可得 （1）减（4） 的次数逐次 降低，从而可得（1）. 设另有