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一、证明题

1． 设UMVUE.

满足

分别是

的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是

的UMVUE , 故

且对任意一个于是

因此

是

的UMVUE.

2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为

证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为

则

与的联合分布为

所以，

是

的

【答案】由于

由判断准则知

即成功概率p 的后验分布为

分布族.

3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:

【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为

所以

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故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔

4． 若

【答案】由

试证

：

得

所以得

即

所以

即

由此得

即

5． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知, 理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

6． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布.

【答案】设总体玛分布

，其密度函数为

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，其中已知，为其样本，取的先验分布为倒伽

则的后验分布为

即

值已知）的共轭先验分布.

7． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

8． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

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这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均

则

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似置信区