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一、计算题

1． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位服从对数正态分布：小时）小时，

【答案】由位数为

其中

为标准正态分布N （0，1）的分位数，所以根据题意有

代人上面两式，可解得

2． 从1，2，3，4，5五个数中任取三个，按大小排列记为

（1）X 的分布函数； （2）P （X<2）及P （X>4）. 【答案】（1）因为X 的分布列为

所以X 的分布函数为

试求：

小时

，

知对数正态分布

的平p 分

若已知分位数

将

（2）

3． 设

相互独立，且

试求中

（1）至少出现一个的概率； （2）恰好出现一个的概率； （3）最多出现一个的概率. 【答案】⑴（2）

4． 设随机变量X 服从区间（0，2）上的均匀分布，（1）求

【答案】X 的密度函数为

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（3）P （最多出现一个）=P（恰好出现一个）+P（都不出现）=2/9+1—26/27=7/27.

的密度函数；（2）

（1）其反函数为

的可能取值区间为（0，4）. 因为

所以

在区间（0，2）上为严格单调增函数，的密度函数为

（2）

5． 学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时. 它的密度函数为

（1）确定常数c ； （2）写出X 的分布函数；

（3）试求在20分钟内完成一道作业的概率； （4）试求10分钟以上完成一道作业的概率. 【答案】（1）因为由此解得c=21. （2）当x<0时，当

时，

当x>0.5时，所以X 的分布函数为

（3）所求概率为（4）所求概率为

6． 设随机变量

相互独立、同服从N （0, 1）, 则

相互独立的充要条件为其协方差为0, 即E （UV ）=0, 实际上

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其中诸如今已知

与均为实数.

的充要条件为

【答案】由于正态随机变量的线性组合仍为正态变量, 而两个正态变量相互独立的充要条件是

这表明:U 与V 相互独立的充要条件是

7． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）

的反函数为

变换的雅可比行列式

所以在（U , V ）的可能取值范围

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

所以由

8． 设随机变量X 满足

【答案】由，

知U 与V 相互独立.

已知

及题设条件

得

从中解得

9． 为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水水样，每个水样均用这两种方法测定氯气含量（单位：mg/L）, 具体数据如下：

表

试求

内, 有

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