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一、证明题

1． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：

（1）（2）

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

2． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

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是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

然后再据此给出它们的关系为

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道

即说明了由原始数据和变换后

数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

3． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，

即对任意的实数

与X 有相同的偏度系数与峰度系数.

【答案】因为j

所以

即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为

所以Y 与X 有相同的峰度系数.

4． 设随机变量

独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

5． 设

, 所以由

诸

的相互独立性

得

特征函数为

的特征函数, 由唯一性定理知

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

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这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

6． （伯恩斯坦大数定律）设

证明:

【答案】

记

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

7． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

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则

从而的有效性最差.

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

时,

一致地有

时,

有

是方差一致有界的随机变量序列, 且当

任

对

存在M>0,

当

服从大数定律.

服从大数定律.