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一、简答题

1． 什么是隧道效应，并举例说明。

【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。

2． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?

【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.

3． 试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由. 【答案】量子态的叠加原理：若仍然为粒子可能处于的态.

叠加系数不依赖于时空变量. 因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量.

4． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

5． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。

6． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

定义电子的自旋算符，并验证它们

为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合

7． 厄米算符的本征值与本征矢

分别具有什么性质？

【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。

8． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？么？

的物理含义是什

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是

单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

9． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？

【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。

10．试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

二、计算题

11．自旋为的一定域电子在均匀磁场子处 在

的本征态上，求t ＞0时测量

中运动，磁作用势为的可能取值及相应的几率。

设t=0时刻，电

【答案】的本征态矢与本征值为：

任意t 时的态矢为：

可能取值为

对应几率为

12．一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为

其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？

（3）求t 时刻的波函数

满足归一化条件.

（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的

【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为

由归一化条件有

（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为

解得

.

故粒子可能测得能量即

测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为

13．已知在象到

表象中，的本征函数为：

则由

表

表象的变换矩阵S 是什么？

【答案】