2017年厦门大学材料科学与工程系820量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变化。
2． 现有三种能级【答案】
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
3． 写出在表象中的泡利矩阵。 【答案】
4． 厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
5． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
6． 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？
【答案】实验上可以观测的力学量的平均值必须为实数，而体系在任何量子态下平均值为实数的算符必为厄米算符，因此这要求可观测量算符应为厄米算符。
7． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
8． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
9． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对
应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
10．有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
为实函数，但
可以为复函数。
二、计算题
11．氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z
分量（3）求总磁矩【答案】⑴
的平均值。 的z 分量
12．对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级
和波函数
的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的
的平均值。
（2）求自旋角动量的z
分量的平均值。
（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。
【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）
基态：
空间部分波函数是对称的
：自旋部分波函数是反对称的：
总波函数：
（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数：
基态不简并，第一激发态是四重简并的。
13．一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
又在边界处应该满足连续条件故
由归一化条件有故对应能量为
14．设
是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.
在
表象中的的矩阵形式； 化简为粒子自旋算符的线性组合.
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.
（1）写出粒子的自旋算符（2）将述算符的乘积
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