2017年厦门大学电磁声学研究院820量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、简答题
1． 在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？
【答案】不能。因为在量子力学中，粒子具有波料二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。
2． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
3． 已知为一个算符满足如下的两式么正算符？
【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。
4． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
5． 扼要说明：
（1）束缚定态的主要性质。
（2）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
【答案】（1）能量有确定值。力学量（不显含f ）的可能测值及概率不随时间改变。 （2）选择定则：
问何为厄密算符？何为
理论根据：电矩m 矩阵元
6． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。
【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
7． 描写全同粒子体系状态的波函数有何特点？
【答案】描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或者反对称的，它们的对称性不随时间变
化。
8． 写出由两个自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。 【答案】总自旋为0:总自旋为1:
9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
10．厄米算符的本征值与本征矢
分别具有什么性质？
【答案】本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。
二、计算题
11．对于角动量算符（b ）定义升降算符态，则
也是
利用对易关系
的本征态.
同理可得则
其
中
是
符号
，
的三个分量之间的关系通式为
：
（b ）
若f 是则
可见
是
和
的共同本征函数，本征值分别为
代入
的本征方程
得
的共同本征函数，可设
证明：若f 是
的共同本征
（a ）在直角坐标系中，推导各分量之间的对易关系，并归纳出统一的表达式.
（c ）在球坐标系中，求解的本征方程. 【答案】（a ）由
（c ）在球坐标中，
利用周期性边界条件由归一化条件可得
相应的本征方程为
12．已知（1）利用（2）求
在
的本征态
在
可得
则的本征态为
是泡利矩阵，表象中的表达式，求
在
表象中的本征态矢
试由此
可由的本征态经绕x 轴转动角的坐标变换而得，即
表象的表达式，并与（1）所得结果比较。
【答案】（1）易知：
设
本征矢
则
即
（2）由题意可得：
同理，可得：
可见，两种方法得到的本征态相同。
13．已知分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，的共同本征态为相应的本征值。 【答案】
证明
是
的本征态，并就
为电子的总角动量。（）
两种情况分别求出其