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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则

【答案】记这正是二项分布

2． 设

因为

的特征函数, 由唯一性定理知

, 且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

这说明

3． 若

【答案】因为

证明

：

所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得

结论得证.

4． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

5． 设

是来自

的样本,

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

证明完成.

相互独立.

则

的联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为, 联合密度

相互独立,

且

6 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

的特征函数, 由唯一性定理知

.

, 且X 与Y 独立,

7． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

8． 设随机变量序列证:

【答案】己知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即

, 结论得证.

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

试