2017年天津大学机械工程学院836高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 已知则
【答案】0 【解析】由
可知
故
则
2． 设
【答案】【解析】设的偏导，
为函数
，其中
对第一中间变量的偏导，
为函数
对第二中间变量
均可微，则
_____。
_____。
，其中
可微，
连续且
连续，
为函数g 对x 的导数。则
3． 设
【答案】【解析】由
，其中a ，b 为常数，则
知
_____。
4． 设曲线
【答案】216π 【解析】
，取逆时针方向，则_____。
解法一：再用参数方程化为定积分：
解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线
，分别位于上半平面与下半平面，并
则有
，均为逆时针方向，见下图。
其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。
围成的区域记为
，它们的面积相等为3π。在
解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，
对y 为偶函数，则
上用格林公式得
于是原积分=。
5． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有
其中f （x ）在【答案】1
内具有连续的一阶导数，则=_____。
【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得
其中
为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧
为连续函数，且对任意的
。因此，当x>0
面时，上述三重积分前取“-”号。
由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有
。
，单位向
量
，
则
，则
。可知
6． 设函
数
_____。
【答案】
【解析】由函数得
则即
。
7．
【答案】
可知曲线关于y 轴对称，且函数2x 是x 的奇函数，
。
_____，其中曲线L 为
【解析】由曲线方程L 为故
，故
。
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