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一、计算题

1． 均质细杆长为的平衡位置，以

质量为m ，两端可分别在光滑的水平及铅垂滑道内滑动，如图所示. 弹簧的刚表示；（2）AS 杆绕此平衡位置作微振动的运动微分方程及固有频率

.

度系数均为A ，且在AS 杆处于水平位置时，其长度均为原长. 滑轮A 、S 质量不计. 求:（1）AS 杆

图

【答案】这是一个单自由度保守系统，以转角为广义坐标. （1）求平衡位置.

以

杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，则系统的势能为

即

由

得平衡位置

，即

（2）根据系统机械能守恒建立振动微分方程求固有频率. 因为

杆作平面运动，且该系统为保守系统，所以系统的机械能守恒，即

其中，系统的动能为

仍以

杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，于是系统的势能与式①相

同. 所以，系统的机械能为

将上式对时间f 求导，化简后得到

此方程为二阶非线性微分方程.

令

和

运动微分方程，即

系统的固有频率为

2． 两物块A 和B , 质量分别为

，注意到

其中为从平衡位置开始度量的微小转角.

展开并将式②代入，经化简、整理得系统微振动的

和初始静止. 如A 沿斜面下滑的相对速度为

对吗？

如图所示. 设B

向左的速度为V , 根据动量守恒定律, 有

【答案】不对. 动量守恒定律中的速度是绝对速度, 而是相对物块B 的速度.

3． 如图所示，平面图形上两点A ，B 的速度方向能是这样的吗？为什么？

图

【答案】由速度投影定理可知均不可能。

4． 汽车重P=15kN，车轮的直径为600mm ，轮自重不计。问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80mm 的阻碍物? 并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不至打滑？

图1

【答案】（1）以整体为研究对象，受力如图2所示。

图2

由平衡方程

得

其中解得

因为后轮不打滑，所以

即

（2）以后轮为研究对象，受力如图3所示。

图3

由平衡方程解得

得

5． 摄下快速行驶的自行车的照片，发现照片中自行车轮子下部的辐条（钢丝条）清晰可辨，而上部的辐条却相当模糊，这是为什么？

【答案】因为上部车条的速度要大于下部车条的速度。在相机曝光的时间内，上部车条因为速度大，会出现在不同的地方，所以照出来模糊；而下部车条速度小，相对静止，所以照出来清晰。