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一、计算题

1． 在图1所示行星齿轮机构中, 以为轴的轮不动, 其半径为r , 全机构在同一水平面内. 设两动轮皆为均质圆盘, 半径为r , 质量为m. 如作用在曲柄的角加速度

.

上的力偶之矩为M , 不计曲柄的质量, 求曲柄

图1

【答案】如图2所示, 以曲柄的转角

为广义坐标,

图2

可得:

广义力为:

代入拉格朗日方程

可解得:

2． 要达到较高的速度，多级火箭为什么比单级火箭优越？

【答案】火箭的特征速度速度.

当n 较大时，就越大，故多级火箭更容易达到更大的

3． 如图所示，车轮沿曲面滚动。已知轮心O 在某一瞬时的速度度是否等于故有

则

车轮角加速度

切向

速度瞬心C 的加速度大小和方向如何确定？ 选O 为基点，则有

和加速度问车轮的角加速

【答案】车轮与路面接触做无摩擦的滚动，则车轮与路面接触点的线速度，切向加速度相等，

由此可以求出速度瞬心，C 的加速度大小和方向。

图

4． 变质量质点的运动微分方程有何区别？

【答案】变质量质点的运动微分方程可以由质点动量定理推出:

其中

和

出表示

与质点动量定理之间

与分别表示射入质点与分出质点相对于m 质点的速度，

分别以

故上式可写成

则式①可以改写为

联立式②③④得

5． 图所示质量为m 的重物, 初速为零, 自高度h=lm处落下, 打在水平梁的中部后与梁不再分离. 梁的两端固定, 在此重物静力的作用下, 该梁中点的静止烧度

如以重物在梁上的静止平

衡位置为原点, 作出铅直向下的轴y , 梁的重量不计. 写出重物的运动方程

.

图

【答案】梁相当于弹簧, 重物将做简谐振动, 重物的运动微分方程为:

振动的固有频率为:

上述方程的通解为:

重物与梁接触前的速度为:

所以运动的初始条件为t=0时, 将初始条件代入, 解得:所以重物的运动方程是:

6． 图1所示水平面上放一均质三棱柱A , 在其斜面上又放一均质三棱柱B. 两三棱柱的横截面均为直角三角形. 三棱柱A 的质量

为三棱柱B 质量

的三倍, 其尺寸如图1所示. 设各处摩擦不计,

初始时系统静止. 求当三棱柱B 沿三棱柱A 滑下接触到水平面时, 三棱柱A 移动的距离

.

图1