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一、计算题

1． 若【

2． 三个自旋为的全同粒子，在一维位势

中运动。

表

答

求案

】

（1

）给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢（谐振子波函数以示）。

（2）它们的简并度分别是多少？ 【答案】（1）基态

第一激发态：

（2）基态二重简并，第一激发态四重简并。

3． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为

为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数

其中

（3）t 时刻的能量平均值.

【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有

故

（2） —维谐振子能量为故

t 时刻波函数为

（3）

各自对应概率为

7

均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为

4． 考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a

点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时

，

其中

考虑到束缚态，因此解为

不存在，表现为

不连续。

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

其中

当-a ＜x ＜a 时，其中考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A , C后可得，

此即能量本征值所需要满足的方程

.

图

所以满足此方程的本征值只有一个.

5． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：

二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：

6． 两个电子处于自旋单态，

分别表示两个电子的算符。设的平均值。 则:

为空间任意给定的

两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即

【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为