2018年中央财经大学统计与数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 若在猜硬币正反面游戏中，某人在100次试猜中，共猜中60次，你认为他是否有诀窍？
【答案】设p 为该人猜中概率，则该问题可以归结为如下假设检验问题:
>
以x 记100次中猜中的次数，则在原假设成立下，验统计量可取为
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0, 1）, 故检验拒绝域为
， 检验的p 值近似为
因此应拒绝原假设，看来此人猜硬帀有某种诀窍.
2． 设随机变量X 服从双参数韦布尔分布，其分布函数为
其中
的值.
【答案】因为p 分位数
满足
解之得
将
代入上式，可得
. 试写出该分布的p
分位数
的表达式，
且求出当
时的
，由于样本量相当大，检
3． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设
此处
分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.
，
现分别在两总体中取一样本
为样本，
和
设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，Y 为服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔，且两个样本独立. 为此，先构造且
已知，胡
的点估计
，由于
为样本，
，待检验的一对假设为
，
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值
的分布完全确定. 据此，可采用u 检验方法，检验统计量为
当矾成立时，检验的拒绝域为
，对于本题的检验问题，在给定的显著性水平理下，
.
4． 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布
表
1
试求该地区发生重大交通事故的月平均数. 【答案】
5． 设随机变量
的联合分布列为
表
试求
【答案】由定义可知
的数学期望
6． 进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为
【答案】
记
试问能以的把握保证1000次
且
试验中事件A 发生的频率与概率相差多少？此时A 发生的次数在什么范围内？
为1000次试验中事件A 发生的次数，
则
设事件A 发生的频率与概率的差为k , 根据题意，可得如下不等式
或
利用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理和修正项可得
由此得
查表得
从中解得
这表明在1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不小于
或者说，在1000次试验中事件A 发生的次数在次间，即在223次到277次间.
7． 某工厂每月生产10000台液晶投影机，但它的液晶片车间生产液晶片合格品率为
为了以
的可能性保证出厂的液晶投影机都能装上合格的液晶片，试问该液晶片车间每月至少应该生产多少片液晶片？
【答案】设每月至少应该生产n 片液晶片，其中合格品数记为X , 则有n , 使下述概率不等式成立
利用二项分布的正态近似，可得
查表可得
由此解得
8． 如果
试证:
【答案】对任意的
且
有
下求
即每月至少应该生产12655片液晶片.