2018年上海财经大学统计与管理学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之工程数学-线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为 2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C
存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵
C ,
使得AC-CA=B.
此时，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵
C 为
其中
3． 设矩阵
为任意常数.
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】令即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵
B 满足题意.
令
4
． 设n
维列向
量
【答案】记
线性
无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数
.
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
二、计算题
5．
设n 阶矩阵
A 与S 阶矩阵B 都可逆，求
【答案】（1）因A 和B 均可逆，
作分块阵
由分块矩阵乘法规则
，
于是⑵求
可逆，且
的逆阵，就是求n+s阶方阵x ，使
为此，根据原矩阵的分块情况，对x 作一样的分块，其中
把上式代入（1）式得到
比较上式两端两个矩阵，有
. 矩阵）
是未知矩阵（为明确起见，它们依次是