2018年石河子大学食品学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
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【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组
使得
线性无关；
向量组
不全为0
,
不全为0.
记
和向量组向量
线性表示.
则
即存在非零列向量
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
4． 已知A 是3阶矩阵
，
（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：
（Ⅲ）求秩
【答案】（Ⅰ）由于
令
因
线性无关，故P 可逆.
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所有非零解
_
t 为任
矩阵
且有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
是3维线性无关列向量，且
记
则有即A 与B 相似.
（Ⅱ
）由
A 的特征值为-1, -1，-1.
对于矩阵B ，
由
得
所以
可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵
得特征向量
那么由：
即
是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1
的所有特征向量是
全为0.
（Ⅲ
）由
知
故
芄中
不
二、计算题
5．
已知
（1
）
能由（2
）
不能由
，故
（2
）
方法二：（1
）
无关）；又
，
表示.
（2）反证法：
若
由盾.
6．
设
（1
）证明
能由
线性表示，而由（1）
, 可由线性相关.
于是
线性表示. 这样
，也就能
，此与
相矛
线性表示，
从而可知
向量组
向量组
线性表示；
线性表示.
，知则知能由
，则知
不能由线性无关
线性相关. 于是
，必能由
，又己知
线性表示； 线性表示. （惟一地）线性
证明
【答案】方法一：（1
）由
线性无关（整体无关则部分
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A 与对角阵
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（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】首先
证明