2018年上海外国语大学国际关系与公共事务学院396经济类联考综合能力之工程数学-线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数.
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
故所求的方程组可取为
其中E 是n 阶单位矩阵.
将
代入得，
构
解得此方程组
矩阵
逆
且A 可对角化，
求行列式
使或1.
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4． 设线性方程
m
【答案】对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，
备解时求出其解.
作初等行变换，
如下
（1）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（
2）当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3）当（4）当
即
时
此时方程组无解.
二、计算题
5．
设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为
3,
已知
是它的三个解向量，且
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.
因R （A ）=3, 则知此齐次方程的基础解系由1个非零解构成，也即它的任一非零解都是它的基础解系. 另一方面，记向量
且直接计算得
这样，就是它的一个基础解系. 根据非齐次方程组解的结构
，则
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