2017年新疆农业大学林业研究所610大学数学2之高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求曲线y=tanx在点
【答案】设曲线在点
处的曲率中心的坐标为
, 则
曲率半径
因此所求的曲率圆方程为
2． 已知函数向倒数。
【答案】根据方向导数与梯度的关系知，f （x , y ）沿着梯度方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模。
因
为
，此题目转化为对函
数下的最大值，即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为
对
下的最大值。
构造函数：令
在约束条件C
：
，
故
，
模
在约束条件C
：
，曲线C ：
，求f （x , y ）在曲线C 上的最大方
处的曲率圆方程。
得到因此
故f （x , y ）在曲线C 上的最大方向导致为
。
3． 把半径为R 的一圆形铁皮，自中心处剪去中心角为а的一扇形后围成一无底圆锥。试将这圆锥的体积表为а的函数。
【答案】设围成的圆锥底半径为r ，高为h ，则按题意（图）有
图
故
圆锥体积
4． 判定函数
【答案】
且
的单调性 仅在
时成立, 因此函数
在[0, 2π]
上单调增加。
5． 画出下列方程所表示的曲面：
【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示；
图
1 图2 图3
6． 利用柯西审敛原理判定下列级数的收敛性:
【答案】
由于
故
于是，当p 为奇数时，有
当p 为偶数时，有