2017年长江大学第四纪地质学601高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 如图所示电缆
的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆
长可按下面公式计算。
图
当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】
2． 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如图所示，当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
图
【答案】以侧面的椭圆长轴为x 轴，短轴为y 轴设立坐标系，则该椭圆方程为
，
取y 为积分变量，则y 的变化范围为[-0.75, 0.75]，对该区间内任一小区间[y，y+dy]，该小区间相应的水深为0.75-y ，相应面积为
，得到该小区间相应的压力
因此压力为
3． 计算，其中是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
的顶为平面
，底为平面
，
在
所围成的闭区域.
面上的投影
【答案】解法一:容易看出，区域
由
和
所围成。故可用不等式表示为
因此
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
4． 求空间曲线积分
交线，从x 轴正向看去取逆时针方向。
【答案】解法一：L
的方程是
L 的参数方程是
按L 的定向t 从0到2π，于是代公式得
其中
解法二：L 是空间中的平面曲线，可用斯托克斯公式转化为求平面上的曲面积分。 圆柱面所截平面y=z-1
部分记为化为上的第二类曲面积分，有
，按右手法则取上侧，用斯托克斯公式，将曲线积分，J
，其中L 是圆柱面
与平面
的也
关于是积函数（即
在xy 平面的投影区域易求，即
将此曲面积分J 投影到xy 平面化为二重积分，则
。
的方程为
解法三：L 是母线平行于z 轴的柱面与平面的交线，可投影到xy 平面上，然后用格林公式。由L 的方程
，L 在xy 平面上的投影曲线记为
，相应
地也取逆时针方向，于是代入积分表达式得
其中D xy ，
是所围的圆域。
5．
设
。
【答案】
具有连续偏导数，
而
，
求
6． 已知
【答案】因为
，求当
时，
的值。