2018年四川大学原子与分子物理研究所832量子力学之量子力学教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、简答题
1． 有人说“在只考虑库仑势场情况下，氢原子原有本征态都存在实的轨道波函数”，你是否同意这种说法， 简述理由。 【答案】不同意。因为
2． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
为实函数，但
可以为复函数。
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
二、选择题
3． 类氢原子问题中，设原子核带正电核为现几率最大的径向坐标位置是（ ）。 A. B. C. D. E. 【答案】B
4． 设粒子处于态系数的取值为_____【答案】
5． —维问题中的哈密顿量为
【答案】C
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为原子的波尔半径，对处于基态的电子，其出
为归一化波函数
的可能值为_____
的平均值为_____。
为归一化的球谐函数，则
哈密顿与坐标的对易式（ ）。
6． 量子力学中的力学量用_____算符来表示，量子力学中的力学量算符的矩阵是_____矩阵。 【答案】厄米；厄米
三、计算题
7． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：
【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程
处于定态时有
则有
由于势函数满足（1）满足偶宇称时有则
设
则波函数满足奇宇称或偶宇称.
注意到①有
有
注意到波函数乘以一个常数描述的仍为同一个状态，则（2）同理，对奇宇称有
】
】
再考虑到归一化条件
综合（1）（2）讨论有波函数
本征能量矩阵元即
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若m=n, 可得到若
则可得到
8． —体系初始时刻的态为
（1）求（2）如果对（3）如果对
其中
进行了测量，并得到结果
计算不确定度
可得
本征值为
故
可能测得值为
及它们的乘积
测量，能得到哪些结果？相应的概率又是多少？
【答案】（1）由公式故
（2）由题意，m=-l，0, 1
而
概率
概率
概率（3）易知
于是有
.
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