2018年太原理工大学物理与光电工程学院874量子力学之量子力学教程考研核心题库
● 摘要
一、填空题
1． 粒子在一维势阱中运动，波函数为
则
【答案】
则
的跃变条件为_____
。若势阱改为势垒
的跃变条件为_____。
2． 描述微观粒子运动状态的量子数有_____; 具有相同n 的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。
【答案】
3． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
的整数倍；对称变换
4． 普朗克的量子假说揭示了微观粒子_____特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的_____性。 【答案】粒子性；波粒二象性
【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说诞生奠定了基础.
5． 不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
6． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处爱因斯坦后来将此应用到了光电效应
上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这为量子力学的
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
二、简答题
7． 什么是费米子? 什么是玻色子? 两者各自服从什么样的统计分布规律?
【答案】费米子是自旋为半奇数的粒子，玻色子是自旋为整数的粒子. 费米子遵守费米-狄拉克统计
规律，玻色子遵从玻色-爱因斯坦统计规律.
8． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
9． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
10．写出电子在外电磁场【答案】
11．写出在【答案】
12．请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
表象中的泡利矩阵。
中的哈密顿量。
13．如果一组算符有共同的本征函数，且这些共同的本征函数组成完全系，问这组算符中的任何一个是否和其余的算符对易？ 【答案】不妨设这组算符为
.
则对任意波函数
完全系为有：
可见，这组算符中的任何一个均和其余的算符对易。
14．什么是隧道效应，并举例说明。
【答案】粒子的能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应，如金属电子冷发射和衰变现象都是隧道效应产生的。
依题意
三、计算题
15．一粒子在力学量的三个本征函数
所张成的三维子空间中运动，其
能量算符
和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由
令
可得
其中a , b为实数。 表示）：
由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值
将式中各个值代入式中可以得到
其中k 为
的平均值，而
其中由
为3行的任意列矩阵，则式和
式可知
即的平均值不随时间变化.