2017年厦门大学电磁声学研究院820量子力学考研冲刺密押题
● 摘要
一、简答题
1． —个量子体系处于定态的条件是什么？
【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。
2． 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？
【答案】在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的
每条光谱线都分裂为
条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外
电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。
3． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？
【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.
量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.
4． 斯特恩—革拉赫实验证明了什么？ 【答案】（1）半整数内禀角动量在存在。 （2）空间量子化的事实。
（3）电子自旋磁矩需引入2倍关系。
5． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】
6． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
第 2 页，共 37 页
7． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
8． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
其中，
定义电子的自旋算符，并验证它们
问是否
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
9． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
10．电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】
利用
的几率密度；
表示粒子在
如何归一化？解释各项的几率意义。
进行归一化，其中
：
处
的几率密度。
表示粒子在
|
处
二、计算题
11．设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为
为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数（3）t 时刻的能量平均值.
【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有
故
其中
（2） —维谐振子能量为故
t 时刻波函数为
第 3 页，共 37 页
（3）
各自对应概率为
7
均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为
12．在
表象中，求自旋算符
在
表象中的矩阵表示为：
方向投影算符
的本征值和相应的本征态。
【答案】在
则
的本征方程为：
a 、b 不全为零的条件是久期方程：
解得：故
的本征值为：时的本征函数为：
时的本征函数为：
13．在【答案】
本征方程为：
即：
将本征值代入①式，可得：
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
第 4 页，共 37 页