2018年上海财经大学金融学院396经济类联考综合能力[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设a>0, 有任意两数x , y , 且
，其面积为
•而事件
试求
的概率.
（如图中的阴影部分）的面积为
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，样本空间为
图
所以 2． 设
（1）（2）（3）
.
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
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则
不难看出
由此可推测. 当用样本的凸组合
从而
的有效性最差.
估计总体均值时，样本均值是最有效的.
3． 口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求:
（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.
【答案】从10个球中任取4个，共有1到10分成三组:
第1组=
，第2组=
，第3组=
.
种取法，故种取法，故
种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法.
解法一：记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”. 为求事件A 与B 的概率，可将球号
事件A 发生必须从第2组中取1个、从第3组中取3个，这共有事件B 发生必须从第2组中取1个、从第1组中取3个，这共有
解法二记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则
这里用到概率的减法性质。
4． 设X 和Y 相互独立, X 服从参数为的泊松分布, 其分布律为
其中
律.
【答案】Z 的可能取值为
且X 与Y 相互独立, 则有
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, 求
的分布
, 的分布律为, 其中
故Z 的概率分布如下
表
1
5． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证:
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果
则
因此
所以得
，又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
6． 设在区间上的均匀分布
而
上随机地取n 个点，求相距最远的两点间的距离的数学期望.
则
相互独立，且都服从区间
和
的密度函数分别为
又因为
所以
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【答案】（1）由p （X ）关于C 点对称可知:
，由此得
【答案】解法一:分别记此n 个点
我们的目的是求