2017年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 2． 设
相互独立, 服从
证明:
【答案】令
, 则
再令
, 则
令
相互独立, 且
服从
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式, 可得
因为,
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立, 且
服从
3． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：
[2]设随机变量X 取
值
【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为
同理可证，
由上题的结论知
[2]仿题[1]有
4． 设
为自由度为n 的t 变量, 试证:
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
, 且X 与Y
, 考察其极限知
由特征函数性质知
从而由
, 再按依概率收敛性知
这就证明了 5． 设计.
【答案】由于
的概率分别
是证明
：
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 劼的特征函数为
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
，证明：
是的相合估
独立同分布，
这就证明了
6． 设
，是的相合估计.
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
都是θ的无偏估计；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如
的
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