2018年甘肃农业大学林学院712高等数学(含线性代数)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1．
行列式
等于（ ）。
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
2．
设矩阵
线性无关
A.
B.
C.
D.
不能由可由可由能否由
经行的初等变换变为矩阵线性相关. 则（ ）
线性表示
线性表示，但表法不惟一
线性表示，且表法惟一
线性表示不能确定
经过行的初等变换变为
是同解方程组，即
是同解方程组，
由于
线性相关且
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且
【答案】C
【解析】
则方程组
线性相关，方程组有非零解，从而因此
有非零解，
故
也是同解
方程组，
由
线性无关可得线性无关，故
可由线性表出，且
表出法惟一.
3． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
4．
已知方程组
A.-1 B.10 C.1 D.2 【答案】C
【解析】线性方程
组
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有两个不同的解，则（ ）。
有两个不同的
解有无穷多
解
因为
令
把
得
代入原方程组，有
因为
5．
如果向量组
故知
时方程组有无穷多解.
的秩为r ，则下列命题中正确的是（ ）
A. 向量组中任意r-l 个向量都线性无关 B. 向量组中任意r 个向量都线性无关 C. 向量组中任意r-1个向量都线性相关 D. 向量组中任意r+1个向量都线性相关 【答案】D
【解析】
按向量组秩的定义向量
AB 两项，
例如向量组
包含零向量的任意两个或三个向量的向量组都线性相关.
C 项，
例如向量组
两个向量都线性无关.
6． 下列二次型中正定二次型是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
由定义
f 或A 不正定.
A 项，
因B 项，
因C 项, ，
因
故不正定. 故不正定.
故不正定.
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的极大线性无关组有r 个
的秩为3，的秩为3，任何
中存在r 个向量线性无关而任意r+1个必线性相关.
正定
均有
反之，若存在
使得
则
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