2018年宁波大学海洋学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设的所有矩阵.
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
2．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
线性无关，
列向量组线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
则
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
使得
线性无关；
向量组
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
3．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
所有非零解
_
t 为任
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵
A 的秩
故f 在正交变换下的标准形为 4． 已知
，求
，由于
所以为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量；
也是矩阵的一个特征值；
【答案】令则且有1
所以
二、计算题
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.