2018年华南农业大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
2．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，这与
有非零解，即存在
为可逆矩阵，
且方程组
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得 3．
已知
且
.
求
又
又
知
即
得
故
知
故
【答案】
由题意知
4． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
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所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B
一定可以对角化，且从而可
知n 阶矩阵与
相似.
二、计算题
5． 设
0,
故
6．
设矩阵
证明A
的特征值只能取1或
2.
是
的特征值. 但是，零矩阵只有特征值
则A=1或A=2.
其中
线性无关
，
，
向量
线性无关，故
，求方
【答案】设A 是A 的特征值，则
程Ax=b的通解.
【答案】显然，这是一个四元方程. 先决定系数矩阵A 的秩
.
因又能由
线性表示
线性相关
线性相关（部分相关则整体相关）
综合上面两个不等式，有R （A ）=3, 从而原方程的基础解系所含向量个数为4-3=1.进一步，
是方程Ax=0的解 是它的基础解系，
又
是方程Ax=b的解.
于是由非齐次线性方程解的结构，原方程的通解为
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