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一、填空题

1．

设函数

由方程

_____。

【答案】1

【解析】根据偏导数的求解方法可知

故 2． 已知级数

【答案】【解析】由于

收敛，则a 应满足_____。

。

所给出，

其中

任意可微，

则

则原级数与级数 3． 计算

【答案】 【解析】原式 4． 设曲线

【答案】216π 【解析】

同敛散，而当且仅当时级数才收敛。

=______。

，取逆时针方向，则_____。

解法一：再用参数方程化为定积分：

解法二：为了去掉绝对值，把C 分成两段：配上坐标轴部分，分别构成闭曲线

，分别位于上半平面与下半平面，并

则有

，均为逆时针方向，见下图。

其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。

围成的区域记为

，它们的面积相等为3π。在

解法三：直接利用对称性 C 关于x 轴对称，于是原积分= 5． 设锥

面

与半球面围成的空间区域

，

_____。

【答案】

是

的整个边界的外侧，

则

对y 为偶函数，则。

上用格林公式得

6．

【答案】

_____。

【解析】由于2y 是y 的积函数，而积分域关于x 轴对称，则

由变量的对称性，得

7． 设平面曲线L 为下半圆周

【答案】π

【解析】将曲线方程转化为参数方程：

则

8．

【答案】

【解析】由题意得

9． 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0，1]上，若其线密度心坐标=_____.

【答案】

，则该细棒的质

在x=0处的泰勒展开式为_____。

，则曲线积分

_____。

【解析】质心坐标 10．曲线

【答案】（-l , 0）

上曲率为的点的坐标是_____。