2018年天津大学精密仪器与光电子工程学院837量子力学考研核心题库
● 摘要
一、简答题
1． 现有三种能级【答案】一维谐振子．
2． 如果算符
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
表示力学量那么当体系处于的本征态时，问该力学量是否有确定的值？
【答案】是，
其确定值就是在本征态的本征值。
3． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符
4． 什么是定态？若系统的波函数的形式为处于定态？
【答案】体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化. 不是，体系能量有E 和-E 两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值.
5． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
为
6． 写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 【答案】测不准关系时有确定的测值。
第 2 页，共 26 页
定义电子的自旋算符，并验证它们
其中，
问是否
物理含义：若两个力学量不对易，则它们不可能同
7． 试设计一实验，从实验角度证明电子具有自旋，并对可能观察到的现象作进一步讨论。 【答案】让电子通过一个均匀磁场，则电子在磁场方向上有上下两取向，再让电磁通过一非均匀磁场，则电子分为两束。
8． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为其中
二、计算题
9． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：
由于动量的本征函数为
故哈密顿算符的矩阵元为：
10．考虑一维双势阱：
（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.
【答案】（1）薛定谔方程可表示为
OT 为粒子质量，
为方程的奇点，在x=a
点处
对上述方程积分
得出
不存在，表现为
不连续。
求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本
其中
第 3 页，共 26 页
（2）由题意知当x ＞a 时
，当-a ＜x ＜a 时，
其中
其中考虑到束缚态，因此解为
考虑到偶宇称，因此解为
结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得
化去A , C后可得，
此即能量本征值所需要满足的方程
.
图
所以满足此方程的本征值只有一个.
11．—体系未受微扰作用时只有三个能级：能量至二级修正。
【答案】至二级修正的能量公式为
其中
分别为一级和二级修正能量. n=1时，将m=2, 3代入II 式得
n=2时，将m=l, 3代入II 式可得
n=3时，将m=l, 2代入II 式可得
第 4 页，共 26 页
现在受到微扰的作用，
微扰矩阵元为
和c 都是实数. 用微扰公式求