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一、简答题

1． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

2． 波函数【答案】

与

3． 请用泡利矩阵满足角动量对易关系。 【答案】电子的自旋算符

其中，

是否描述同一状态？

描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。

定义电子的自旋算符，并验证它们

4． 自旋可以在坐标表象中表示吗？

【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。

5． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？

【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。表示在时刻附近体积元中粒子出现的几率密度。

6． 写出电子自旋的二本征值和对应的本征态。 【答案】

7． 试比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。

【答案】对于粒子，共同点是颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体；不同点是经典粒子遵循经典决定论，沿确定轨道运动，微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动。 对于波，共同点是遵循波动规律，具有相干迭加性；不同点是经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。

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8． —个量子体系处于定态的条件是什么？

【答案】量子体系处于定态的条件是哈密顿算符不显含时间或能量取确定值。

二、计算题

9．

为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。

【答案】

10．在自旋态【答案】

下，求在自旋态j

下：

所以有：

11．（1）求算符【答案】⑴

即算符⑵则

不对易.

得证.

的对易关系. （2）证明

其中

12．对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.

【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为

S 为自旋波函数. 可分离变量得

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最终解得

代表例子自旋朝上和朝下两种状态.

由于粒子自旋此时并不会对粒子能量产生影响，故

粒子能量基态：对应波函数为：例子第一激发态能量：对应波函数有：

第二激发态能量：对应波函数有：

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