2018年天津大学精密仪器与光电子工程学院837量子力学考研强化五套模拟题
● 摘要
一、简答题
1． 自旋可以在坐标表象中表示吗？
【答案】自旋是内禀角动量，与空间运动无关，故不能在坐标空间表示出来。
2． 波函数是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？的物理含义是什么？
【答案】波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。
3．
写出角动量的三个分量【答案】这三个算符的对易关系为
4． 放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
【答案】与量子隧穿效应有关。
5． 写出泡利矩阵。 【答案】
6． 波函数【答案】
与
7． 现有三种能级【答案】
是否描述同一状态？
描写的相对概率分布完全相同，描写的是同一状态。
请分别指出他们对应的是哪些系统。
对应一维无限深势阱；
对应
表示在时刻附近
体积元中粒子出现的几率密度。
的对易关系.
对应中心库仑势系统，例如氢原子；
一维谐振子．
8． 解释量子力学中的“简并”和“简并度”。
【答案】一个能级对应多个相互独立的能量本征函数的现象称为“简并”；一个能级对应的本征函数的数目称为“简并度”。
二、计算题
9． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。
图
【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为
式中此即所求表达式.
10．两个电子处于自旋单态，
【积分未完成】
分别表示两个电子的算符。设的平均值。 则:
为空间任意给定的
两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即
【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为由于
（在
表象），
（在
表象），则
而
解法二：
所以有：
解法三：
电子都处于自旋单态，故而
所以有：
所以有：
其中，
因为两个
11．氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
求：
】
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
12．对于一个限制在边长为L 的立方体中的自旋为1/2、质量为m 的粒子，计算基态与第二激发态的本征能量及相应的本征态波函数.
【答案】这是一个三维方势阱问题，例子波函数为
S 为自旋波函数. 可分离变量得
最终解得