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一、简答题

1． 分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？

【答案】当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。

2． 已知为一个算符么正算符？

【答案】满足关系式（a ）的为厄密算符，满足关系式（b ）的为幺正算符。

3． 什么样的状态是定态，其性质是什么？

【答案】定态是能量取确定值的状态，其性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变

4． 反常塞曼效应的特点，引起的原因。 【答案】原因如下：

（1）碱金属原子能级偶数分裂； （2）光谱线偶数条；

（3）分裂能级间距与能级有关；

（4）由于电子具有自旋。

5． 如果算符表示力学量那么当体系处于

满足如下的两式问何为厄密算符？何为

的本征态时，问该力学量是否有确定的值？

【答案】是，

其确定值就是在本征态的本征值。

6． 能级的简并度指的是什么？

【答案】能级简并度是指对应于同一能量本征值的线性无关的本征态个数。

7． 量子力学中的力学量算符有哪些性质? 为什么需要这些性质？

【答案】量子力学中力学量算符为厄米算符，因而具有所有厄米算符的性质.

量子力学中力学量算符为厄米算符是由力学量算符本征值必须为实数决定的，比如，力学量的平

均值为实数，因而对求平均值的式子求共轭后，其值应该不变，而求平均值时算符求共轭后式子值不变即要求算符为厄米算符.

8． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。

【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为 9． 若【

答

用算符的本征函数

展开

态中测量粒子的力学量^

得到结果为

的几率是

得到结果在

范围内的几率

二、计算题

求案

】

10．（1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数

：随时间演化的动力学方程

：（2）用

对称性波函数

；

反对称性波函数。其

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

表示出体系可能的状态如下：

11．粒子的一维运动满足薛定愕方程：（1）若

是薛定谔方程的两个解，证明

与时间无关.

（2）若势能V 不显含时间t ，用分离变数法导出不含时的薛定谔方程，并写出含时薛定谔方程的通解形式. 【答案】⑴

取式（1）之复共轭，得

得

对全空间积分： 即

所以与时间无关. （2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得E 为既不依赖t , 也不依赖r 的常数. 这样，所以

因此，通解可以表示为其中，

12．自旋在

是满足不含时的薛定谔方程

方向的粒子，磁矩为

置于沿z

方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其

概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在

方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的

变化。这时的哈密顿矩阵为：

式中，

是泡利矩阵，

为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩

与角动量的方

向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：

即：