2018年天津理工大学新能源材料与低碳技术研究院805量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量
求到二级，矩阵元一般形式
则第n 能级的二级近似能量
（2）结果适用的条件是：即
2． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态
电子跃迁到激发态的概率.
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的微扰作用。
其中 T 为常数。
已知，a 基态其中为玻耳半径.
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由
.
【答案】（1）根据跃迁几率公式
其中
可知，必须先求得
终态量子数必须是
到末态
的跃迁矩阵元为
将
代入跃迁几率公式
根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态
（2）基态电子跃迁到
3． Q 表缘的基矢有两个：
的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则
算符有如下性质：
（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为
求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.
【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元.
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设其本证函数为则有由久期方程
对应本征函数为
对应本征函数为
解得
再代回
可得
（2）粒子的力学量由题意
可能取值即其本征值.
时，相应概率为时，相应概率为
4． 自旋为时，粒子处于（2）求出t ＞0时
固有磁矩为
的状态。
的可测值及相应的取值几率。
（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0
（1）求出t ＞0时的波函数； 【答案】（1）体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为：在t= 0时，粒子处于为了求出
的状态，即
在泡利表象中的具体形式，需要求解满足的本征方程：
解得:于是，有：
由于，哈密顿算符不显含时间，故/>0时刻的波函数为：
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