2018年天津理工大学理学院805量子力学考研基础五套测试题
● 摘要
一、计算题
1． 设一维谐振子的初态为（1）求t 时刻的波函数（3）求演化成
所需的最短时间
任意时刻t 的波函数可表示为已知t = 0时刻的波函数是由
得，
（2）求t 时刻处于基态及第一激发态的概率.
即基态与第一激发态叠加，其中为实参数.
【答案】（1） 一维谐振子定态能量和波函数：
在n=0，1的本征态的相应能量分别为：则任意时刻t 的波函数可以表示为
（2）t 时刻处于基态的几率为（3）设
时刻粒子的波函数是
处于第一激发态的几率
即
可得
所以当n=l时有最小时间，即
解得
其中
2． 设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为
为简谐振子的三个（n=0, 1，2）最低能量的定态波函数. 试求 （1）系数A = ? （2）t 时刻的波函数
（3）t 时刻的能量平均值.
【答案】（1）由波函数的正交归一化条件有
故
（2） —维谐振子能量为故
t 时刻波函数为
（3）
各自对应概率为
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均与时间无关，故t 时刻粒子能量平均值为
3． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场B 沿z 轴正向，电子磁矩在均匀磁场中的势能：
表示；
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：电子轨道运动，
此时T=0。
求t ＞0时，自旋的平均值。提示：
提示：忽略
这里
为电子的磁矩；
自旋用泡利矩阵
（2）假设t=0时，电子自旋指向x 轴正向，即
（3）求t ＞0时，电子自旋指向y 轴负向，即
的几率是多少？
【答案】（1）忽略电子轨道运动，是玻尔磁子。所以哈密顿为：
薛定谔方程为：
（2）在
表象中求解，自旋波函数可表示为：
其中，
即：
式中，
满足
即
设t= 0时，电子的自旋指向x 轴正向，
对应波函数为
并满足归一关系：可得：
即，可得：
时刻t ，自旋的平均值：