2018年天津理工大学理学院805量子力学考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． Q 表缘的基矢有两个：
算符有如下性质：
（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为
求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.
【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元
.
设其本证函数为则有由久期方程
对应本征函数为
对应本征函数为
解得
再代回
可得
（2）粒子的力学量由题意
可能取值即其本征值.
时，相应概率为时，相应概率为
2． （1）求算符【答案】⑴
的对易关系. （2）证明
其中
即算符⑵则
3． 考虑一维双势阱：
（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.
【答案】（1）薛定谔方程可表示为
OT 为粒子质量，
为方程的奇点，在x=a
点处
对上述方程积分
得出
（2）由题意知当x ＞a 时
，当-a ＜x ＜a 时，
其中
其中
考虑到束缚态，因此解为
考虑到偶宇称，因此解为
结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得
化去A , C后可得，
此即能量本征值所需要满足的方程
.
不存在，表现为
不连续。
求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本
不对易.
得证.
其中
图
所以满足此方程的本征值只有一个.
4． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？
【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。
5． 设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.
【答案】氢原子的定态能量为由氢原子所处的态函数
所以氢原子能量的取值为角动量平方的取值为角动量z 分量的取值为：
几率1/4，
几率3/4，
其平均值
6． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有
又在边界处应该满足连续条件故
由归一化条件有故对应能量为
几率为1，能量的平均值为
几率为1，其平均值为
中运动，求粒子的能级和对应的波函数.