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一、计算题

1． 若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）

【答案】解法一：

设总自旋

则:

其中g 为作用常数，和

分别为两个中子的自

旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数

而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：

自旋交换反对称波函数：

显然

与

对易，二者有共同的本征态：

即的本征值为

的对应波函数为

即的本征值为解法二：选择的本征态为对应特征值

时对应的函数为

表象（因为

（对应特征值的本征态，

），对应本征值

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相互对易）。

（对应本征值本征态为

）。

因为对易，所以两中子的体系的波函数可以由的本征态的乘积构成如下四种情

况（结合全同粒子满足的波函数的对称性要求）：

自旋交换对称态：

自旋交换反对称态：又因为：

把以上格式代入分别作用到j

和. 上可得：

同理可得：即的本征值为

对应的本征函数分别为

在没有外场情况下，中子的空间波函数的动量本征态函数。设两中子处

在

和

态上，则空间对称波函数为：

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反对称波函数为：

则总波函数满足反对称性要求（中子的费米子）。 三重态：单态：

2． 一质量为m 的粒子，可在宽为a 无限深势阱当中自由运动. 在t=0的初始时刻其波函数为

其中A 为实常数. （1）求A 使平均值？

（3）求t 时刻的波函数

满足归一化条件.

（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值? 相应取这些能量值的概率又是多少? 再计算能量的

【答案】（1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为初始时刻波函数可化为

由归一化条件有

（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为

解得

.

故粒子可能测得能量即

测得能量的平均值为（3） t 时刻波函数为

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