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一、分析计算题

1． 试判断下列微分方程所描述的系统属何种类型（线性、非线性；定常、时变）。

【答案】（1）线性定常系统；（2）线性时变系统；（3）非线性定常系统；（4）线性定常系统。

2． 请列写出如图所示的信号流图的状态方程表达式。

图

【答案】由系统的信号流图可得

则系统的状态空间表达式为

3． 已知系统的开环传递函数为

（1）画出系统开环幅相曲线（极坐标图）的大致形状； （2）试用奈奎斯特稳定判据，分析K 值与系统稳定性的关系；

（3）绘制BoDe 图（对数频率特性曲线）的幅频特性图（用渐近线表示）。 【答案】（1）根据系统开环传递函数

令

代入可得

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当其奈奎斯特图与实轴相交时，此时实部为-K 。

（2）由于系统为I 型系统，顺时针补偿90°。当-K>-1，即K<1时，系统开环在虚轴右侧的极点数P=l，正穿越次数N=0, 负穿越次数

说明系统闭环

不稳定，闭环传递函数在虚轴右侧的极点数为2。当-K<-1，即K>1时，系统开环在虚轴右侧的极点数P=l，正穿越次数

=l, 负穿越次数

系统闭环稳定。

该系统为非最小相位系统，

（3）将系统的传递函数化为标准形式，即为

由于非最小相位系统的对数幅频特性曲线与其对应的最小相位系统的幅频特性曲线相同，故可以画出

的对数幅频特性曲线，转折频率为

系统为I 型系统，故低频时的折线方程可得系统的对数频率特性曲线如图所示。

则

图

4． 己知系统的动态方程为

（1）判断系统的稳定性（渐近稳定、BIBO 稳定）：

（2）若有可能，设计状态反馈，使系统的两个闭环极点均位于-2; （3）若有可能，设计极点位于-8处的最小维状态观测器；

（4）（选做）用第3小题得到的观测状态来实现第2小题的状态反馈，写出复合系统的（增广的）状态空间方程。

【答案】根据题意知

（1）易求得系统的传递函数为

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易见该二阶系统的两个极点分别为（2）设计状态反馈。 因

满秩，故系统能控，可以用状态反馈任意配詈系统的闭环极点。

则

解得：

即题目要求的状态反馈为

（3）设计最小维状态观测器 因

满秩，故系统能观，可以用状态观测器实现状态观测又因c 的秩为

零点是

即系统有正实部极点且不会

被零点对消，不满足系统稳定条件，故系统非渐进稳定也非BIBO 稳定。

设实现题目要求的状态反馈为：

丨，故最小维状态观测器应为1维，取

即：或：在上式中以

为输入相关项

为状态

其中

是观测器的极点

即

故

这样

即：而：

上两式就是要求的观测器

（4）求复合系统的状态空间方程： 原系统：

为消去微分项，令

为输出

构造等维观测器：

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