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一、计算题

1． 设

是自旋为1/2的粒子的沿x 、y 与z 轴的自旋算符，而是某一角度.

（1）写出粒子的自旋算符在

表象中的的矩阵形式； （2）将述算符的乘积化简为粒子自旋算符的线性组合.

【答案】⑴•

（2）由公式

且令

其中n 为正整数，则上式即

题中

利用公式则

结合

可得

2．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

贝IJ :

得：

同理，设由

代入上式，得：

故：

3． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用于是

可得即

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

则：

因此：

且有

试用Schmidt 方法构成正

4． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2

个全同费米子（

表示出体系可能的状态。

【答案】（1）全同粒子系的波函数：时间演化的动力学方程：（2）用

对称性波函数；

反对称性波函数。其随

）组成的体系，

设可能的单粒子态为

试用

表示出体系可能的状态如下：

5． 考虑一维双势阱：

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

其中

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a

点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时

，当-a ＜x ＜a 时，

其中

其中

考虑到束缚态，因此解为

考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A , C后可得，

此即能量本征值所需要满足的方程

.

不存在，表现为

不连续。

图

所以满足此方程的本征值只有一个.

6． 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量【答案】

设

和

的对易关系

之间的测不准关系。

和

依次表示

这个关系

是一个算符或普通的数。以

则有

和在态中的平均值，令