2017年河北大学量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． （1）写出全同粒子体系的态所满足的交换对称性以及随时间演化的动力学方程； （2）考虑由2
个全同费米子（
表示出体系可能的状态。
【答案】（1）全同粒子系的波函数
：随时间演化的动力学方程
：（2）用
对称性波函数
；
反对称性波函数。其
）组成的体系，
设可能的单粒子态为
试用
表示出体系可能的状态如下：
2． 一粒子在力学量的三个本征函数
所张成的三维子空间中运动，其
能量算符
和另一力学量算符的形式如（1）求的本征值和相应的归一化本征矢（用（2）证明的平均值不随时间变化. 【答案】（1）由
令
可得
其中a , b为实数。 表示）：
由久期方程可得：解得能量算符的三个本征值
将式中各个值代入式中可以得到
其中k 为
的平均值，而
其中由
3． 氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z
分量（3）求总磁矩【答案】⑴
的平均值。 的z 分量
4． 设
的平均值。
为3行的任意列矩阵，则式和
式可知
即的平均值不随时间变化.
（2）求自旋角动量的z
分量的平均值。
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳
内找到粒子的几率。
（2）在薄球壳（3）
内找到粒子且自旋沿的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
5． 设t=0
时刻氢原子处于
子哈密顿算符的正交归一化本征波函数. 求：（1） t=0时刻，体系能量（2）t=0时刻，体系角动量平方（4）
时刻，
体系所处的状态
的平均值.
的平均值.
故t=0时，体系能量平均值为
状态，其中是氢原
（3）t=0时刻，体系角动量x 分量的平均值. 【答案】（1）由题意可知n=2，
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