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一、计算题

1．

若有已归一化的三个态交，归一的新的态矢量

【答案】因为设由

所以

和

和]

贝IJ :

得：

同理，设由

代入上式，得：

故：

则：

因此：

且有

试用Schmidt 方法构成正

2． 考虑自旋为的系统。 （1）试在

表象中求算符

的本征值及归一化的本征态。其中

是角动量算符，

而4、5为实常数。

（2）假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量得到结果为的概率。 【答案】（1）设设本征值为

有

则在

设

解得本征态为：

（2）在

表象中，

的本征态为

故发现

的概率为：

表象中

为归一化的本征态，

则由本征方程

3． 在自旋态【答案】

下，求在自旋态j

下：

所以有：

4． 考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或反对称的。空间部分波函数是反对称时对应总的自旋平方对应总的自旋平方

本征值为

空间部分波函数对称时分别针对空间部分波函

的本征值为

本征值为0。假设两电子系统哈密顿量为

数是反对称和对称两种情形，求体系的能量。（提示：单电子自旋角动量平方算符

）。 【答案】利用应能量：

对应能量：

可知，空间部分波函数反对称时：

对

空间部分波函数对称时：

5． 若是电子的自旋算符，求： （1）（2）【答案】⑴或者：（2）

6． 设限制在边长为L 的立方体中的单粒子的本征能量与本征波函数是已知的，其中基态是非简并的，而第一激发态与第二激发态都是3重简并的. 具体而言，基态的本征能量与轨道波函数分别为

第1激发态的本征能量与轨道波函数分别为

第2激发态的本征能量与轨道波函数分别为且前三个单粒子能级是等间隔的.

设由4个上述单粒子构成的全同粒子体系，限制在边长为L 的立方体中. 计算体系的较低的2个本征能量及相应的简并度.

【答案】题中并未给出粒子是费米子还是玻色子，故分两种情况讨论： 由题意可知（1）粒子为费米子

此时粒子应该遵守泡利不相容原理，每个波函数最多容下两个粒子. 体系最低能量：对应波函数有

其简并度为6. 体系第一激发态能量（2）粒子为玻色子

此时粒子不受泡利不相容原理约束， 体系最低能量：

其简并度为1.

体系第一激发态能量为：其简并度为3.

7． 求一宽度为a 且关于原点对称的一维无限深势阱中粒子的坐标在能量表象中的矩阵元. 【提示：

【答案】【注：题中所给积化和差公式有误，正确的积化和差公式为在势阱内有定态方程

处于定态时有

设

】

】

其简并度为：3×3=9.

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