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一、计算题

1． 两个无相互作用的粒子（质量均为m ）置于一维无限深方势阱（函数。

（1）两个自旋为的可区分粒子。 （2）两个自旋为的全同粒子。

【答案】（1）对于自旋的二个可区分粒子，波函数不必对称化。 基态：总能量为

而波函数为

有4重简并。

）中。对下列两种情况

写出：两 粒子体系可具有的两个最低总能量值，相应的简并度以及上述能级对应的所有二粒子波

第一激发态：总能量为其波函数为有8重简并。

（2

）自旋非简并。

的二个全同粒子，总波函数必须是反对称的。故基态:

总能量为

波函数为

第一激发态：总能量为波函数为4重简并。其中，

代表二粒子自旋单态

，

代表自旋三重态。

2． 两个电子处于自旋单态，

分别表示两个电子的

算符。设的平均值。 则:

由于

（在

表象），

（在

表象），则

为空间任意给定的

两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即

【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为

而

解法二：

所以有：

解法三：

电子都处于自旋单态，故而

3． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：

【答案】（1） r 的平均值即

求：

所以有：

所以有：

其中，

因为两个

】

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级

和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理

（为势能关于r 的幂次）有动能平均值

其中玻尔半径

而氢原子基态能量为

故

5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并

度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.

4． 在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 【答案】在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为：在动量表象中，该哈密顿算符为：

由于动量的本征函数为

故哈密顿算符的矩阵元为：

5． Q 表缘的基矢有两个：

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

对应本征函数为

解得

再代回

可得

（2）粒子的力学量由题意

可能取值即其本征值.

时，相应概率为时，相应概率为

6． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量

的微扰作用。