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一、证明题

1． 证明:设

，则

为G 的解的充要条件是:存在数。（本章定理4）

，使得

和

分别

是不等式组（I ）和（II ）的解，且

【答案】（l ）先证充分性。由于x*是不等式组（I ）的解，

且

又由于

是不等式组

的解，且

②

由式①和式②，可知

故由教材第390页的定理3可知，（X ，Y ）为G 的解。

*

*

则

，

*

*

（2）再证必要性，由于（X ，Y ）为G 的解，所以有

，因此X 和Y 分别是不等式组（I ）和 （）

*

*

的解，且v=VG 。 2． 证明:矩阵对策

的鞍点不存在的充要条件是有一条对角线的每一个元素均大于另一对角线上的每一个元素。 【答案】（l ）先证充分性，要使鞍点存在，

就必存在

①

可假设主对角线的每一个元素均大于次对角的每一个元素，即

使对一切

，

有

则充分性得证。

（2）证必要性。假设“有一条对角线的每一个元素均大于另一条对角线上的每一个元素”这种情形不存在，则可设

又可假设

其他情形同理可类推得出存在鞍点，由命题与逆否命题等价可知必要性成立.

二、计算题

3． 甲、乙两个企业生产同一种电子产品，两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额。 甲企业的策略措施有:①降低产品价格; ②提高产品质量，延长保修年限; ③推出新产品。 乙企业考虑的策略措施有:①增加广告费用; ②增设维修网点，扩大维修服务; ③改进产品性能。 假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场占有份额变动情况如表所示（正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为甲企业减少的市场占有份额）。试通过对策分析，确定两个企业各自的最优策略。

表

【答案】令甲企业考虑的策略措施①，②和③分别记为和③分别记为

，则由题意有:

; 乙企业考虑的策略措施①，②

因为

优措施为“改进产品性能”。

，V G =5。甲企业的最优策略措施为“推出新产品”，乙企业考虑的最所以，对策G 的解为（3，3）

4． 己知图表示7个城市间拟建一条连接各个城市的通信线路，各边的权数表示两个城市之间的修建 费用，求连接各城市通信线路最小修建费用方案。

图

【答案】最优万案为:

可使修建费用为最少。