2017年大连海事大学数学系835高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
2． 设函数f （x ）和g （x ）均在点x 0的某一邻域内有定义，f （x ）在x 0处可导，f （x 0）=0，g （x ）在x 0处连续，试讨论f （x ）g （x ）在x 0处的可导性。
【答案】由f （x ）在x 0处可导，且f （x 0）=0，则有
由g （x ）在x0处连续，则有故
即f （x ）g （x ）在x 0处可导，其导数为f’（x 0）g （x 0）。
3． 设Z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x 1，y l ，z 1）沿直线移到（x 2，y 2，z 2）时重力所作的功。
，质点移动的直线路径L 的方程为
【答案】重力F=（0，0，mg ）
于是
第 2 页，共 39 页
，
4． 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在点（x ，y ）处的面密度
，求该薄片的质心。
【答案】
于是
所求质心为
。
5． 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：
【答案】（1
）由
解得
故对应的齐次方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
设
是原方程的一个特解，代入方程，得
故原方程的通解为
且有代入初始条件
有
第 3 页，共 39 页
即
故所求特解为
（2）由
解得
故对应的齐次方程的通解为是原方程的一个特解，代入方程得
即
于是原
因不是特征方程的根，故可设方程的通解为
且有
代入初始条件
解得
故所求特解为
（3）
由
解
得
有
故对应的齐次方程的通解
为
因
2x
不是特征方程的根，故可设
得
即
于是原方程的通解为
且有
代入初始条件
有
是原方程的一个特解，代入方程并消去e ，
第 4 页，共 39 页
相关内容
相关标签