2018年云南农业大学动物科学技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
线性无关.
求
是3维非零列向量，若线性无关；
且
非零可知，
是A 的个
令
故
2．
设二次型
记
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
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故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A 的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以为矩阵对应特征值
所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量； 的特征向量； 也是矩阵的一个特征值
；
3．
已知二次型
的秩为2.
求实数
a 的值
；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】⑴由
可得，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为：当
时，解
得对应的特征向量为
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当
时，解
得对应的特征向量为
对于解得对应的特征向量为
：
将单位转化为：. 令X=Qy,
则
4． 已知方程组
量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （
Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及
a=0
时
，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0
时，
则
值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，
可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ）
知
的基础解系，即为
的特征向量
二、计算题
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