2017年华南师范大学生物光子学研究院830量子力学之量子力学教程考研强化模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 自旋为_____的微观粒子称为费米子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____, 自旋为_____的微观粒子称为玻色子，它们所组成的全同粒子体系的波函数具有_____。 【答案】的奇数倍；反对称变换
2． 一粒子的波函数【答案】
3． —个电子运动的旋量波函数为
则表示电子自旋向上、位置在处
的整数倍；对称变换 则粒子位于
间的几率为_____。
的几率密度表达式为_____，表本电子自旋向下的几率的表达式为_____。 【答案】
4．
一维谐振子升、降算符密顿量H 用N 或【答案】
5． 玻恩关于波函数统计解释的基本论点是_____。
【答案】物质的本源是粒子；波动性是指微观粒子处于某一物理量值的统计几率
6． 费米子组成的全同粒子体系的波函数具有_____，玻色子组成的全同粒子体系的波函数具有_____。
【答案】对称性；反对称性
、a 的对易关系式为_____; 粒子数算符N 与
、a 的关系是 ; 哈
、a 表示的式子是_____；N （亦即H ）的归一化本征态为_____。
二、选择题
7． 下面哪组是泡利矩阵（ ）. A. B. C. D.
【答案】A
【解析】泡利矩阵必须满足以下对易关系为
8． 给出如下对易关系：
【答案】
再由
最终推导出泡利矩阵只能
9． 光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少？（ ） A.1 B. C. D. 【答案】A
【解析】由德布罗意波长公式
10．一维自由电子被限制在x 和
波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A. 处两个不可穿透壁之间
，
埃，如果
是电子最低能
态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（ ）
I 【答案】C
【解析】
一维无限深方势阱中能级公式为
由题意，基态能量为
11．一维运动中，
哈密顿量【答案】
12．已知体系的哈密顿算符为
下列算符
与对易的有_____。
【答案】
则可知，
较高级能量与基态能量比值为
则第一激发态能量为
三、证明题
13．设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下，【答案】设束缚定态为
即有：
因A 不显含时间t , 所以
14．证明么正变换不改变算符的本征值。
【答案】设在某一表象下，一个幺正变换的矩阵表示为S 。对任意算符，其在该表象下的矩阵表示为F ， 则对其进行么正变换后的矩阵表示为：
由于相似变换不改变矩阵本征值，故
与F 本征值相同，因此么正变换不改变算符本征值。
因而有：
四、计算题
15．已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
满足
的矩阵表示。
且
求：
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是由于
所以：
则有：
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
利用
得：