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一、分析计算题

1． 在欧氏空间中有三组向量的，

和

和

如果

是线性无关均有

都是两两正交的单位向量组，并且对一切

【答案】对每一个i ，有证明由题设，可令

这里

性无关，所以均可逆.

由⑴、（2）可得是上三角矩阵. 令

且时

. 由于两两正交的非零向量组线性无关，且

线

（3）由于上三角矩阵曰的逆矩阵仍是上三角矩阵，且上三角阵的乘积仍是上三角阵，

所以

均为规范正交组，所以C 是正交矩阵，即有i

且

结合（3）, 命题得证.

试求

考虑到及这里为下三

角，为上三角，所以

2． 已知

（1）A 的特征多项式

是6阶方阵A 的最小多项式，且及其若当标准形.

（2）A 的伴随矩阵的若当标准形. 【答案】（1）由A 的最小多项式

则A 必有特征值于是A 的特征多项式是由6阶行列式因子注意到

于是A 的初等因子为故A 的若当标准形为

（2）由（1）可知存在可逆矩阵P , 使于是

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由

6阶不变因子

得

则.

从而.

由于

的若当标准形依次为

故

的若当标准形为

3． 设

试就a , b 的各种取值情况，讨论非齐次方程组【答案】因为系数行列式（1）当

时，且

，所以

时，方程组有唯一解

（2）当a=0时，原方程组无解。

的解，如有解，并求出解。

（3）当时，原方程组有无穷解，其通解为其中k 为任意常数。

4． 设复数域上n 次多项式.

证明：

的所有根也在上半复平面.

则

【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为

的所有根都在上半复平面.

现任取一复数

的

虚部系数

因此

且

故

即

的根都在上半复平面.

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且虚部系数由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，即每个

5． 假设被

整除.

【答案】设25-1的5个根为

则

互不相同，且记为

由假设可得

由范德蒙行列式可知齐次方程组①的系数行列式不等于

0.

即证.

6 ，．（1）设为n 维线性空间V 的线性变换且

与其中

（2）设3维线性空间V 的线性变换在一组基式

并对于由于从而有

（E 为恒等变换）

这样，令则有同理可得

此说明所以由此可得所以综上可得（2）诏

可得A 的特征多项式

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为的最小多项式. 证明如果：

互素，则

下的矩阵为求的最小多项

的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.

使

互素，所以存在多项式.

【答案】（1）证明：由题设

有

又

有

即