2017年西北民族大学964高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是数域P 上n 维线性空间，明：
【答案】
由已知
于是
因而
式（7-17）右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式，由由
设
的
线性无关，故是
的特征向量
，
设
特征向量. 注意到（7 —17）成立，
的秩和符号差与无关.
也是V 的基，故
2． 证明：实二次型.
【答案】二次型f 的矩阵为
线性无关
.
记
这里
是V 的基，由特征值
互不相同，
故
只要证明
贝U
则是
互不相同，则A 可逆，
线性无关的充要条件是
且在P 中有II 个不同特征值
其中是r 的特征值的特征向量
，
证
对A 作合同变换，将A 的第一行乘以一i 加到第i 行上，i=2, 3, …，n ，得
再将第一列乘以一i 加到第i 列上，i=2, 3，…，n ，得
则A 与B 合同. 将B 的第二行乘以加到第一行，再将第二列乘以加到第一列，得
则B 与C 合同，且C 的秩和符号差与无关. 注意到A 合同于c , 故A （即f ）的秩和符号差
与无关.
3． 证明：①正交方阵之积以及正交方阵的逆方阵均仍为正交方阵；
②在欧氏空间
中，
其中
A 为n 阶正交方阵.
且
故
也是正交方阵. d因为A 为正交方阵，故
从而
4． 设T 是数域K 上线性空间矿的一个可逆线性变换. 证明：
①T 的特征值都不等于零； ②若是T 的特征值，则
是
的特征值.
是T 的属于0的特征向量，则
与矛盾. 且由上可得
即
亦即
为
的一个特征值.
【答案】①反证法设若T 有特征值0, 而又因为T 可逆，故
因为T 可逆，由①知
【答案】①A ，B 为两个n 阶正交方阵，则即AB 为正交方阵. 又因为
②设为T 的属于特征值的特征向量，即
5． 设又为A 中的元素在中的代数余子式，试求
【答案】解法1:因为
所以A 可逆. 又
所以即
解法2:同解法1，
又因为
从而
所以
从而
6． 求以下g （x ）能整除f （x ）的条件：
【答案】①用g （x ）去除f （x ），可得商和佘式分别为：
令
得
即
展开后比较两端同次项系数可得：
②因f 次=4，g 次=2, 故商必为2次且首系数为1，令