2017年浙江工商大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
为由全体正实数对运算
作成的实数域R 上的线性空间，R 对普通加法与乘法作成R 上线性空间. 证明：【答案】证法I 任取一个定实数射.
又对任意又因为对任意
即b 是一正实数，令
和
有
因此，一维空间
.
中的零向量是1, 今在
中任取一非零向量a , 即a 是一个非1的正实数，则当
即b 为正实数，则
与R 都是实数域
时有
. 即a 在R 上线性无关. 再任取
即
中每个向量都可由a 线性表示. 因此，
也作成实数域上
证法II 实数集R （对普通加法与乘法）作成实数域上一维线性空间. 下证
则
故又是满射，从而为双射.
则易知
是R 到
的一个映射，且显然是一个单
也是实数域上一维空间，即
上一维空间， 故
2． 设A , B
, （n=0，1，…）都是3阶方阵
当
时，求 【答案】由
①-②得
而所以
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由③得
但所以由④式可得
其中
3． 用正交线性替换化下列二次型为标准形：
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）二次型
的矩阵为
求得正交矩阵
使为对角矩阵
因此，正交线性替换
把原二次型化为标准形
（2）正交线性替换
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标准形
（3）正交线性替换
标准形为
（4）正交线性替换
标准形为
4． 求下列方程的最小二乘
用“到子空间距离最短的线是垂线”的语言表达出上面方程的最小二乘解的几何意义，由此列出方程并求解. （用三位有效数字计算）.
【答案】设系数矩阵的两列向量分别为
即
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